Kávéfőző matematika - 1. rész

A pumpás-karos-manuális nevekkel ellátott presszó kávéfőzők nagyjából egységes belső szerkezetet mutatnak. Van egy körülbelül egy literes műanyag tartályuk, melyből egy nagynyomású szivattyú tölti a vizet egy durván két decis fém, nyomásálló tartályba – bojlerbe –, ahol a fűtőszál egy előre (legtöbbször termosztáttal) beállított hőmérsékletre hevíti a vizet. Amikor ez a hőfok beáll, egy lámpa jelzi (le-, illetve felkapcsolódással), hogy a készülék készen áll a kávékészítésre.
Ha ekkor megnyomjuk a kávéadagoló gombot, a szivattyú elindul, és 9 bar nyomással hideg vizet juttat a bojlerbe, ami miatt az ott lévő forró víz (a befolyó hideg vízzel valamilyen mértékben keveredve) a kávéőrleményen keresztül belefolyik az edénybe. Ezzel elkészült a kávé.
A kérdés az, hogy milyen teljesítményű fűtőszálra van szükségünk ahhoz, hogy a kávé kifolyása alatt a bojlerből kilépő víz hőmérséklete állandó legyen.

A számítások előtt néhány egyszerűsítést tennünk kell annak érdekében, hogy ne akadémiai szintű levezetést kapjunk. Tegyük fel először is, hogy a bojlerünk tökéletesen szigetelt, hőkapacitása nulla, hőt nem ad át környezetének, és nem is vesz fel onnan! Tegyük fel továbbá, hogy a fűtőszál idő- és hőveszteség nélkül hevíti a vizet! Végül feltételezzük azt is, hogy a víz hőkapacitása nem változik se a nyomás- se a hőmérsékletváltozás hatására. Legyen a környezet hőmérséklete 25 °C, a bojlerben levő vízé pedig 95 °C!

Egy presszó kávé elkészítése körülbelül 30 másodpercet vesz igénybe, és dupla esetén körülbelül 60 ml folyadékot kapunk ennyi idő alatt. Ez azt jelenti, hogy másodpercenként körülbelül 2 ml víz halad át a tartályon (ez megfelel 2 g/s tömegsebességnek). A víz a bejáratnál 25 °C-on érkezik, a kijáratnál pedig 95 °C-on távozik.
Ha feltételezzük azt, hogy adott időegység alatt a beáramló víz a tartályban levővel nem keveredik el, az időegység letelte után viszont azonnal és tökéletesen elvegyül, akkor az ebben az időpontban pillanatszerűen bevitt energia az időegység alatt a tartályba érkezett víz felmelegítésére kell csak, hogy fordítódjon – hogy azt felhevítse a tartály többi részének hőmérsékletére. (Ezek a feltételezések szigorúan véve végtelen rövid időintervallumokra igazak csak, de mint látni fogjuk, a kapott teljesítmény független lesz az időintervallum hosszától.)
Az energiamérleget tehát egyenletekkel így írhatjuk fel (P a fűtőszál teljesítménye, Δt az időintervallum, c a víz fajlagos hőkapacitása, m az időegység alatt tartályba áramlott víz tömege, Tbe és Tki a bejövő és kimenő hőmérsékletek, v a bejövő víz tömegsebessége):

P • Δt = c • m • (Tki - Tbe)
és
m = v • Δt

A második egyenletet az elsőbe helyettesítve, majd egyszerűsítve Δt-vel, a tartályt melegítő fűtőszál teljesítményére a

P = c • v • (Tki - Tbe)

összefüggést kapjuk. A fent megadott értékekkel ez

P = 4,18 J/g°C • 2 g/s • 70 °C = 585,2 W-ra adódik.

Talán furcsának tűnhet, de a fenti összefüggés értelmében ez a teljesítmény független a tartály méretétől, így például egy két literes bojlerre ugyanúgy vonatkozik, mint egy két decisre.

A kávéfőzőkben a nem ideális folyamatok (a fűtőszál hatásfoka és hőtehetetlensége, a környezetnek átadott energia, a nem tökéletes keveredés, a hőkapacitás hőmérsékletfüggése) és a hőmérsékletek különbségének változásai (a boljer hőmérséklete akár nagyobb, a környezeté kisebb is lehet) miatt a gyártók az 585 W helyett 1000-1200 W-ot használnak, nagyobb bojler esetén – hogy előbb elérjék a hőstabil állapotot – akár még többet is.