Kávéfőző PIDelés - szimuláció

Mielőtt nekiállnánk megvalósítani a PID szabályozónkat, vizsgáljuk meg egy számítógépes szimuláció segítségével, hogy várhatóan milyen jellemzőkkel fog az eszközünk rendelkezni!

Kiindulásnak Szűcs Zoltán 2008-ban készített munkáját (letölthető innen vagy innen) használtam fel, aki C nyelven készítette el egy mérésekkel meghatározott tulajdonságú tartály hőmérsékletszabályozásának szimulációját.

Az általam továbbfejlesztett szimuláció az előbbi egyszerű tartály modelljét kiegészíti a bojler anyagából adódó hőkapacitásával, a rendszer- és mérési holtidővel, az átfolyó víz hőmérsékletre gyakorolt hatásával, valamint figyelembe veszi, hogy a fűtőszállal történő energiabevitel váltakozóáramú hálózatról teljes-félperiódusok kapcsolásával (hullámcsomag vezérléssel) lesz megvalósítva. Az eredetileg C nyelven írt programot átírtam Python-ba (2.6), így szerintem könnyebb futtatni. A program végrehajtása során az aktuális mappába elhelyez egy pid_sim.csv nevű fájlot, ami a szimuláció adatait tartalmazza olyan formában, hogy azt pl. az Excel be tudja olvasni, és tud belőle grafikont rajzolni.

Kávéfőző PIDelés - bevezető

A címben szereplő megfogalmazás alatt - most és a folytatásban is - a kávéfőző fűtőbojler hőmérsékletének úgynevezett PID szabályozótípussal történő stabilizálását értem. Mivel a fűtőbojler hőmérséklete szoros összefüggésben van a kifolyó kávé hőmérsékletével, ezért az előző stabilitásának biztosításával a másodikat is kézben tudjuk tartani, ami a késztermék minőségének szempontjából előnyös lehet. Lényegében ez a célunk a PID-eléssel.

Kávéfőzőn itt is olyan készülékeket értek, mint amilyenekről ebben a bejegyzésben írtam: pumpás-karos-manuális nevekkel ellátott, egy darab (kávékészítéshez használt) bojlerrel rendelkező, nagy nyomású (15 bar) szivattyúval felszerelt (presszó) kávéfőzőket. A hivatkozott bejegyzésben kiszámoltuk, hogy ideális esetben durván 600 W-os fűtőszál elegendő ahhoz, hogy a (dupla eszpresszó) kávé kifolyása alatt legyen elég teljesítményünk a kifolyó víz hőmérsékletének szinten tartásához, ami persze csak akkor igaz, ha azonnal tudunk reagálni a beáramló hidegvíz okozta hőmérséklet esésre. Azt is láttuk, hogy ez a fűtőteljesítmény elméletben független a fűtőtartály térfogatától, igaz ugyanúgy az egy deciliteres, mint a fél literes bojlerre.

A PID elven működő szabályozóval ellátott szabályozási körök általánosságban fizikai folyamatok paramétereinek (hőmérséklet, nyomás, vízszint, irány, stb.) egy beállított értéken való tartását igyekszenek megvalósítani. A szabályozó e szabályozási köröknek csak egy eleme; a teljes szabályozáshoz szükség van érzékelőre, illetve beavatkozó szervre is. Kávéfőzők esetében a beavatkozó szerv gyárilag biztosított (ez maga a fűtést végző elem), olyan érzékelővel viszont, ami a hőmérséklettel arányos jelet szolgáltat a szabályozónak, utólag kell ellátni a készüléket.

A PID szabályozó hőmérsékletszabályozás esetén a következő lépéseket hajtja végre.

1. A beállított hőmérsékletből kivonja a mért hőmérsékletet
2. A PID Kp paraméterével megszorozza az eltérést, a Ki-vel megszorzott eltérést hozzáadja az eddigi ilymódon nyert szorzat-összegekhez, a Kd-vel beszorozza az aktuális és előző hiba különbségét
3. A három, előző pontban nyert részeredményt összeadja, figyelve arra, hogy az összegben ne történjen túlcsordulás
4. Az összeggel arányos jelet ad a fűtőelemnek
5. Adott idő után visszatér 1-re

A három paraméter azt befolyásolja, hogy a szabályozó milyen mértékben reagáljon a hőmérséklet eltérések pillanatnyi (Kp), illetve az adott időpontig felhalmozott (Ki) értékeire, valamint aktuális változására (Kd). A paraméterekkel beállítható, hogy a rendszer megfelő gyorsasággal és minél kisebb hibával tudja tartani a hőmérsékletet.

A kávéfőzőknél meg kell különböztetni két különböző üzemmódot, a felfűtést/hőn tartást és csapolást (ha van gőzölés, akkor az egy harmadik üzemmód). Az elsőnél a bojlert egy fűtött, míg másodiknál egy fűtött és egyben átfolyással hűtött tartállyal kell modellezni, ami precíz igények esetén két külön PID szabályozást (vagy ugyanazon szabályozó esetén átkapcsolható paraméter készletet) jelent.

Mivel a kifolyó kávé minősége szempontjából elsősorban a csapolás ideje alatti hőmérsékletstabilitás kritikus, ezért a továbbiakban ennek elméletével, majd megvalósításával fogok foglalkozni. Ahhoz viszont, hogy a csapolás pillanata előtt megfelelő legyen a hőmérséklet, a felfűtés-hőntartás móddal is foglalkozni kell, amit ezt követően fogok elemezni és megvalósítani.

Folytatás következik... ...ITT.

Kávéfőző matematika - 1. rész

A pumpás-karos-manuális nevekkel ellátott presszó kávéfőzők nagyjából egységes belső szerkezetet mutatnak. Van egy körülbelül egy literes műanyag tartályuk, melyből egy nagynyomású szivattyú tölti a vizet egy durván két decis fém, nyomásálló tartályba – bojlerbe –, ahol a fűtőszál egy előre (legtöbbször termosztáttal) beállított hőmérsékletre hevíti a vizet. Amikor ez a hőfok beáll, egy lámpa jelzi (le-, illetve felkapcsolódással), hogy a készülék készen áll a kávékészítésre.
Ha ekkor megnyomjuk a kávéadagoló gombot, a szivattyú elindul, és 9 bar nyomással hideg vizet juttat a bojlerbe, ami miatt az ott lévő forró víz (a befolyó hideg vízzel valamilyen mértékben keveredve) a kávéőrleményen keresztül belefolyik az edénybe. Ezzel elkészült a kávé.
A kérdés az, hogy milyen teljesítményű fűtőszálra van szükségünk ahhoz, hogy a kávé kifolyása alatt a bojlerből kilépő víz hőmérséklete állandó legyen.

A számítások előtt néhány egyszerűsítést tennünk kell annak érdekében, hogy ne akadémiai szintű levezetést kapjunk. Tegyük fel először is, hogy a bojlerünk tökéletesen szigetelt, hőkapacitása nulla, hőt nem ad át környezetének, és nem is vesz fel onnan! Tegyük fel továbbá, hogy a fűtőszál idő- és hőveszteség nélkül hevíti a vizet! Végül feltételezzük azt is, hogy a víz hőkapacitása nem változik se a nyomás- se a hőmérsékletváltozás hatására. Legyen a környezet hőmérséklete 25 °C, a bojlerben levő vízé pedig 95 °C!

Egy presszó kávé elkészítése körülbelül 30 másodpercet vesz igénybe, és dupla esetén körülbelül 60 ml folyadékot kapunk ennyi idő alatt. Ez azt jelenti, hogy másodpercenként körülbelül 2 ml víz halad át a tartályon (ez megfelel 2 g/s tömegsebességnek). A víz a bejáratnál 25 °C-on érkezik, a kijáratnál pedig 95 °C-on távozik.
Ha feltételezzük azt, hogy adott időegység alatt a beáramló víz a tartályban levővel nem keveredik el, az időegység letelte után viszont azonnal és tökéletesen elvegyül, akkor az ebben az időpontban pillanatszerűen bevitt energia az időegység alatt a tartályba érkezett víz felmelegítésére kell csak, hogy fordítódjon – hogy azt felhevítse a tartály többi részének hőmérsékletére. (Ezek a feltételezések szigorúan véve végtelen rövid időintervallumokra igazak csak, de mint látni fogjuk, a kapott teljesítmény független lesz az időintervallum hosszától.)
Az energiamérleget tehát egyenletekkel így írhatjuk fel (P a fűtőszál teljesítménye, Δt az időintervallum, c a víz fajlagos hőkapacitása, m az időegység alatt tartályba áramlott víz tömege, Tbe és Tki a bejövő és kimenő hőmérsékletek, v a bejövő víz tömegsebessége):

P • Δt = c • m • (Tki - Tbe)
és
m = v • Δt

A második egyenletet az elsőbe helyettesítve, majd egyszerűsítve Δt-vel, a tartályt melegítő fűtőszál teljesítményére a

P = c • v • (Tki - Tbe)

összefüggést kapjuk. A fent megadott értékekkel ez

P = 4,18 J/g°C • 2 g/s • 70 °C = 585,2 W-ra adódik.

Talán furcsának tűnhet, de a fenti összefüggés értelmében ez a teljesítmény független a tartály méretétől, így például egy két literes bojlerre ugyanúgy vonatkozik, mint egy két decisre.

A kávéfőzőkben a nem ideális folyamatok (a fűtőszál hatásfoka és hőtehetetlensége, a környezetnek átadott energia, a nem tökéletes keveredés, a hőkapacitás hőmérsékletfüggése) és a hőmérsékletek különbségének változásai (a boljer hőmérséklete akár nagyobb, a környezeté kisebb is lehet) miatt a gyártók az 585 W helyett 1000-1200 W-ot használnak, nagyobb bojler esetén – hogy előbb elérjék a hőstabil állapotot – akár még többet is.