Kávéfőző matematika - 1. rész

A pumpás-karos-manuális nevekkel ellátott presszó kávéfőzők nagyjából egységes belső szerkezetet mutatnak. Van egy körülbelül egy literes műanyag tartályuk, melyből egy nagynyomású szivattyú tölti a vizet egy durván két decis fém, nyomásálló tartályba – bojlerbe –, ahol a fűtőszál egy előre (legtöbbször termosztáttal) beállított hőmérsékletre hevíti a vizet. Amikor ez a hőfok beáll, egy lámpa jelzi (le-, illetve felkapcsolódással), hogy a készülék készen áll a kávékészítésre.
Ha ekkor megnyomjuk a kávéadagoló gombot, a szivattyú elindul, és 9 bar nyomással hideg vizet juttat a bojlerbe, ami miatt az ott lévő forró víz (a befolyó hideg vízzel valamilyen mértékben keveredve) a kávéőrleményen keresztül belefolyik az edénybe. Ezzel elkészült a kávé.
A kérdés az, hogy milyen teljesítményű fűtőszálra van szükségünk ahhoz, hogy a kávé kifolyása alatt a bojlerből kilépő víz hőmérséklete állandó legyen.

A számítások előtt néhány egyszerűsítést tennünk kell annak érdekében, hogy ne akadémiai szintű levezetést kapjunk. Tegyük fel először is, hogy a bojlerünk tökéletesen szigetelt, hőkapacitása nulla, hőt nem ad át környezetének, és nem is vesz fel onnan! Tegyük fel továbbá, hogy a fűtőszál idő- és hőveszteség nélkül hevíti a vizet! Végül feltételezzük azt is, hogy a víz hőkapacitása nem változik se a nyomás- se a hőmérsékletváltozás hatására. Legyen a környezet hőmérséklete 25 °C, a bojlerben levő vízé pedig 95 °C!

Egy presszó kávé elkészítése körülbelül 30 másodpercet vesz igénybe, és dupla esetén körülbelül 60 ml folyadékot kapunk ennyi idő alatt. Ez azt jelenti, hogy másodpercenként körülbelül 2 ml víz halad át a tartályon (ez megfelel 2 g/s tömegsebességnek). A víz a bejáratnál 25 °C-on érkezik, a kijáratnál pedig 95 °C-on távozik.
Ha feltételezzük azt, hogy adott időegység alatt a beáramló víz a tartályban levővel nem keveredik el, az időegység letelte után viszont azonnal és tökéletesen elvegyül, akkor az ebben az időpontban pillanatszerűen bevitt energia az időegység alatt a tartályba érkezett víz felmelegítésére kell csak, hogy fordítódjon – hogy azt felhevítse a tartály többi részének hőmérsékletére. (Ezek a feltételezések szigorúan véve végtelen rövid időintervallumokra igazak csak, de mint látni fogjuk, a kapott teljesítmény független lesz az időintervallum hosszától.)
Az energiamérleget tehát egyenletekkel így írhatjuk fel (P a fűtőszál teljesítménye, Δt az időintervallum, c a víz fajlagos hőkapacitása, m az időegység alatt tartályba áramlott víz tömege, Tbe és Tki a bejövő és kimenő hőmérsékletek, v a bejövő víz tömegsebessége):

P • Δt = c • m • (Tki - Tbe)
és
m = v • Δt

A második egyenletet az elsőbe helyettesítve, majd egyszerűsítve Δt-vel, a tartályt melegítő fűtőszál teljesítményére a

P = c • v • (Tki - Tbe)

összefüggést kapjuk. A fent megadott értékekkel ez

P = 4,18 J/g°C • 2 g/s • 70 °C = 585,2 W-ra adódik.

Talán furcsának tűnhet, de a fenti összefüggés értelmében ez a teljesítmény független a tartály méretétől, így például egy két literes bojlerre ugyanúgy vonatkozik, mint egy két decisre.

A kávéfőzőkben a nem ideális folyamatok (a fűtőszál hatásfoka és hőtehetetlensége, a környezetnek átadott energia, a nem tökéletes keveredés, a hőkapacitás hőmérsékletfüggése) és a hőmérsékletek különbségének változásai (a boljer hőmérséklete akár nagyobb, a környezeté kisebb is lehet) miatt a gyártók az 585 W helyett 1000-1200 W-ot használnak, nagyobb bojler esetén – hogy előbb elérjék a hőstabil állapotot – akár még többet is.

Nyári olvadás

Az utóbbi két hónapban duplájára nőtt a lakásom elektromos fogyasztása. Az ember, akinek nem ellensége a pénze, ilyenkor mindig eltöpreng, vajon mitől is történhet ilyesmi.
Amikor az első hónap végén a villanyóra állásának jelentésénél észrevettem a durva különbséget, a következőkre gondoltam.

• Vagy az újonnan üzembe helyezett tévé és számítógép okoz túlfogyasztást (ezek használatának kezdete pont a kérdéses időszakra tehető);
• Vagy valaki áramot lop tőlem.

Igazából egyik sem volt túl valószínű ok.
A második hónap végén szintén szembesültem a túlfogyasztás tényével, s ez megölte az utolsó reményemet is, ami abba kapaszkodott, hogy ez magától meg fog javulni.
Itt már kiszámoltam, hogy milyen fogyasztóval lehet dolgunk: a túlfogyasztás kb. 60 kWh, ami durván 83,3 W-os fogyasztó állandó bekapcsolását feltételezi. Ehhez hasonló fogyasztó viszont nem volt a lakásban. Maradt tehát a szisztematikus módszer.
Ezt egy multiméterrel végeztem, sorra méregetve az elektromos eszközök munka- és készenléti áramfelvételét.
A hűtőnél elállt a lélegzetem: járó kompresszorral 5 A áramot vett fel. A gyártó szerint a készülék teljesítménye 110 W, ami 0,47 A áramfelvételt jelent; ennek tízszerese nyilván nem lehet üzemszerű működés.
Mi lehet ennek az oka? A hűtőgép hangja normálils volt, s a jég se volt durván vastag benne. Azért egy olvasztás nem árt - gondoltam. És milyen jól gondoltam. Olvadás és alapos tisztítás után bekapcsolva a hűtő áramfelvétele 0,63 A lett, ami magasabb, mint a gyári érték, de egy tizen-egynehány éves hűtőnél ez még belefér. Fél nappal később egyébként már 0,5 és 0,6 között járt az áram, és lehet, hogy lejjebb is ment, de azt már nem néztem.
Mi ebből a tanulság?

• Egy régi hűtő nem csak, hogy nem energiatakarékos, de csinálhat ily módon extra költségeket. Aki nem figyel, és mondjuk limit nélküli átutalási megbízása van, rossz esetben ezt észre se veszi.
• Érdemes gyakran leolvasztani a hűtőnket.
• Jó figyelni, mekkora havonta a fogyasztásunk.
• Ha valami furcsát észlelünk, érdemes azonnal cselekedni.

Nekem ez a lecke kb. tízezer forintomba került, meg egy fél délután gondolkodás és méregetésbe.